Геометрия: зачем нужны доказательства? Часть 1.

Геометрия: зачем нужны доказательства?

Одно из преимуществ индивидуальных занятий в том, что ученик не стесняется задавать вопросы, которые в классе покажутся неуместными. Да и не всегда в классе найдется время на их обсуждение, ведь школьная программа строго расписана по часам. А вопросы есть у всех и не находя на них ответа, школьники теряют интерес к предмету.

Самый частый вопрос моих вновь прибывших учеников, которые пришли "подтягивать" геометрию: "зачем нужно что-то доказывать, если на рисунке и так все ясно?"

Ясно, говорите? Ну что ж, давайте продемонстрирую, как такая "ясность" может оказаться обманчивой. Возьмем лист бумаги и нарисуем непрерывную замкнутую линию.

Рис1



Разрежем по ней лист. Видим, что получилось две полоски бумаги. Снова возьмем лист бумаги и снова нарисуем на нем непрерывную замкнутую линию. А теперь склеим концы так, как показано на рисунке:

Рис2



Вопрос: если я опять разрежу лист по этой линии

Рис3



получу ли я два куска бумаги или нет? Проверьте и убедитесь, что на этот раз ваш лист не разделится на два куска. Вот вам пример того, что очевидность далеко не всегда очевидна. Доказательство в геометрии просто необходимо для того, чтобы перенести некое свойство, характерное для одного объекта на другие, похожие объекты. Однако, так было не всегда. Когда-то действительно одного рисунка было достаточно. Например, такой точки зрения придерживались индийские математики в эпоху средневековья. Многие геометрические предложения они не доказывали, а делали к ним выразительный чертеж и писали над ним одно слово "Смотри!". Например, теорема Пифагора выглядела так:

Рис4



Предполагалось, что читатель сам измерит и сравнит площади квадратов? Однако, как можно быть уверенным, что в случае рисунка других размеров или другого прямоугольного треугольника утверждение о том, что квадрат его гипотенузы будет равен сумме квадратов катетов, все еще останется в силе? Для того, чтобы быть уверенным, что утверждение верно для ЛЮБОГО прямоугольного треугольника, сколько треугольников надо проверить? 10? 100? Понятно, что доказывать правильность утверждения Пифагора, основываясь только на измерении и вычислении соответствующих площадей, задача неблагодарная и явно не для ленивых. И снова - лень становится двигателем прогресса. В этот момент нас может посетить светлая мысль - вместо того, чтобы считать квадраты катетов и гипотенуз бессчетного количества треугольников, взять, да и принять изначально, что длины сторон нам вообще неизвестны, а знаем мы только, то что один из углов - прямой. Тогда, показав правильность утверждения Пифагора для треугольника с неизвестными сторонами, получится, что мы доказали теорему для любого прямоугольного треугольника. Именно такие рассуждения и требовались от читателя рисунков, предлагаемых в качестве доказательства, а рисунки используются только как вспомогательное средство, так же как картинки в букваре. Ведь в одной книжке под словом "яблоко" может быть изображен белый налив, а в другой - ранетка. Всего лишь визуальная поддержка. То есть, рассуждения все же необходимы и наша задача - научиться их записывать на языке математики, что и приводится в учебнике геометрии. Часто очевидность для одного может обернуться большой проблемой для другого. Здесь уместно напомнить историю с теоремой Ферма.

Продолжение следует...

С любезного разрешения администрации добавляю свои контактные данные:
Skype: olga.kalyakina
email: gotique@inbox.ru
Tel. 8-9649559520
Студия дополнительного образования ЭΛΛАС. Греческий язык.Математика. Подготовка к ЕГЭ по математике. Берусь за безнадежные случаи.